Vi betragter et kasseformet udsnit af atmosfæren. Arealet
af endefladerne betegnes A. Kassen befinder sig i højden y over
jordoverfladen. Kassen har højden Δy. Trykket på overside og
underside betegnes p(y+ Δy) og p(y). Massefylden for luften
i højden h betegnes ρ(y).
Vi minder om at kraften på en
flade med areal A er F = pA, hvor p er trykket på fladen.
Vi udtrykker nu, at forskellen i kraften på
underside og overside er lig med tyngden af den luft, der befinder sig i
kassen. Dette fordi luften i kassen er i hvile.
p(y)A - p(y+ Δy)A = mluft· g=
ρ(y)Vluf tg = ρ(y)A Δyg
Divideres denne ligning med AΔy
får man:
(1.1) 
For at løse differentialligningen (1.1), må vi imidlertid
kende endnu en sammenhæng mellem ρ(y) og p(y). Den kan vi
imidlertid få af :
- tilstandsligningen
for ideale gasser: PV = nRT,
- definition
af molmasse
, samt
- definition
af massefylde:
.
Indsættes nemlig de to sidste ligninger i tilstandsligningen
finder man:
Dette udtryk for massefylden indsættes så i (1.1), som
herefter giver:
(1.2) 
Som bekendt aftager temperaturen ca. med 1oC for
hver 200 m, man kommer til vejrs, men vi antager først, at temperaturen er
konstant op igennem atmosfæren. Løsningen til differentialligningen (1.2) er
kendt, så vi finder:
(1.3) 
Indsættes de kendte værdier for konstanterne: M =29 g/mol, g
= 9.82 m/s2, R= 8.31 J/(molK) og T = 273 K, finder man:
(1.4) 
hvor y skal
måles i m.
Dette giver et trykfald på 1,3% pr. 100 m og 12% pr. 1000 m.
Vi ser dernæst på løsningen til differentialligningen, hvis
temperaturen aftager lineært med 10C, pr. 200 m. Temperaturen ved
jordoverflade sættes til 20 0C = 293 K. Temperaturen i højden y er
derfor: T = T(y) = 293 – y/200. Differentialligninger bliver herefter:
(1.5) 
Denne ligning løses på sædvanlig vis ved separation og
integreres:
Ligningen integreres til at give:
(1.6) 
Udregnes trykket efter (1.6) giver det kun anledning til
afvigelser fra (1.4) på 0,1 – 0,2 %.
Differentialligningen for antallet af radioaktive kerner og
aktiviteten er kendt fra undervisningen:
(2.1) 
hvor k som sædvanlig betegner henfaldskonstanten
(sønderdelingskonstanten).
Vi vil nu se på det tilfælde at den oprindelige kerne
henfalder til en ny kerne, som også er radioaktiv, noget der er velkendt for
henfaldskæderne Uranserien-, Thorium- og Actinium serien.
Betegnes de to kerner med henholdsvis (1) og (2), kan man
opstille to differentialligninger. Den første for kerne (1) er identisk med
(2.1), mens den anden udtrykker, at kerne (2) produceres med en hastighed, der
er lig med aktiviteten af kerne (1), og sønderdeles efter henfaldsloven.
(2.2) 
Den sidste differentialligning er af formen:
(2.3) 
Den løses ved at flytte leddet –k·y over på venstre
side, multiplicere ligningen med ekx og omskrive til en
enkelt differentialkvotient:
(2.4) 
hvis 
, så har
differentialligningen løsningen:
(2.5) 
c er som sædvanlig en integrationskonstant, der er
bestemt af begyndelsesbetingelserne.
Erstatter man x med t, y med N2
og h(x) men N1(t)
i (2.3) og foretages de samme omskrivninger med de nye variable finder man:
c bestemmes ved at N2(0)=0 => 
. Løsningen bliver herefter:
(2.6) 
Bemærk, at N2 >0 for t>0, uafhængig af om k2
>k1 eller omvendt. (Tilfældet k2 = k1 , har
kun matematisk interesse, men løsningen er 
) Resultatet er relativt let at fortolke, idet de første to
faktorer er det antal N1 kerner, der er henfaldet til N2
kerner, men som ikke er henfaldet endnu, og den sidste faktor er henfaldsloven
for N2 kerner.
Hvis henfaldskæden er længere en tre kerner, kan det i
princippet løses helt på den samme måde, idet man blot skal erstatte udtrykket
for N1(t) med udtrykket for N2(t) i differentialligningen
for N3(t).
Løsninger af typen (2.6) kan anvendes til aldersbestemmelse
for et radioaktivt stof. I praksis kender man de to sønderdelingskonstanter k1
og k2 samt forholdet mellem de to kerner N2/N1.
Dette giver følgende ligning:
(2.7) 
Man ser, at hvis k2 >k1 , vil 
Når man analyserer mekaniske systemer, så antager man som
regel, at de er gnidningsfrie. Dette er naturligvis kun realistisk i en vis
udstrækning, men de diferentialligninger, der beskriver systemet, kan ofte kun
løses, hvis gnidningskraften ikke afhænger af hastigheden, som det er
tilfældet, hvor to faste stoffer bevæger sig i forhold til hinanden, eller hvis
man ser bort fra gnidning.
Vi vil nu beskrive nogle simple eksempler på bevægelse i
gasser og væsker, hvor gnidningen (viscositeten) afhænger af hastigheden.
Vi skal først betragte en partikel (karakteristisk en
kugle), der synker i en væske under påvirkning af tyngdekraften.
Hvis hastigheden i væsken ikke er for stor, er der tale om laminar
strømning. I dette tilfælde er gnidningskraften proportional med og modsat
rettet hastigheden. Hvis hastigheden vokser er der tale om turbulent
strømning. Turbulens kan bedst beskrives ved at der opstår strømhvirvler i væsken eller gassen. Turbulens
er et af de stadig delvis uløste problemer i den klassiske fysik. Ingen har
kunnet give en stringent teoretisk forklaring på, hvorfor og især hvornår
turbulens opstår.
Et teoretisk udtryk for gnidningskraften på en kugle ved laminar
strømning er givet ved Stokes lov. r = Radius af kuglen, v = Hastigheden, 
= Viscositetskoefficienten mellem væsken og kuglen.
(3.1) 
I det følgende, vil vi blot for kortheds skyld skrive
proportionaliteten melem gnidningskraft og hastighed som 
. Denne formel gælder uafhængig af legemets form, blot der er
tale om laminar strømning.
For en bevægelse langs en x-akse gælder der som bekendt:
Hastighed: 
, acceleration: 
Newtons 2. lov: 
Et legeme, der falder i en væske er påvirket af:
1.
tyngdekraften FT = mg¸
2. en
opdrift 
, (tyngden af den fortrængte væskemængde) hvor 
er væskens massefylde
og 
er rumfanget af
legemet med masefylden 
, samt
3. gnidningskraften
. FT – Fop = 
, hvor mv g er det som tyngden reduceres
til, når legemet nedsænkes i væsken. Bevægelsesligningen er derfor:
(3.2) 
For nemheds skyld sætter vi 
Ligningen løses helt på samme måde, som vi gjorde det i
(2.4). Vi multiplicerer med 
og omskriver.
(3.3) 
Løses mht v.
(3.4) 
Tilføjer vi begyndelsesbetingelsen v(0)=0, finder man
, som indsat i løsningen giver
(3.5) 
Det ses, at hastigheden nærmer sig asymptotisk til 
halveringstiden for
at opnå denne hastighed, findes på sædvanligvis som 
. For de fleste bevægelser i væsker opnås sluthastigheden
meget hurtigt. (3.5) kan naturligvis let integreres for at opnå strækningen x.
Man finder:
(3.6) 
Hvis legemet har begyndelseshastigheden v0
og bevægelsen er modsat rettet tyngden, skal der skiftes fortegn på mg leddet i
(3.4) og 
. Vi finder i dette tilfælde løsningen:
(3.7) 
Vi ser at hastigheden igen nærmer sig asymptotisk til 
Vi skal nu betragte et skråt kast med gnidning. Det skrå
kast (uden gnidning) er ret detaljeret behandlet i Bog 2, og vil ikke blive
gentaget her. Ved hastigheder blot over 5,0 m/s er antagelsen om laminar
strømning næppe opfyldt, men bevægelsesligningerne lader sig ikke løse
analytisk, hvis der er tale om turbulent strømning. Ved turbulent strømning er
gnidningskraften Fgn = vβ , hvor 
. Her vil vi foreløbig nøjes med at løse bevægelsesligningerne
for laminar strømning. For bevægelse i gasser, kan man i almindelighed se bort
fra opdriften. I dette tilfælde er 
. bevægelsesligningerne bliver da. jf. bog 2.
(4.1) 
Disse to differentialligninger har vi imidlertid allerede
løst for en retlinet bevægelse. Er begyndelseshastigheden 
, finder man løsningerne:
(4.2) 
Hvis 
<< 1, altså hvis
gnidningsmodstanden er forsvindende lille, så kan man benytte tilnærmelsen 
.
Hvis vi dropper alle led, proportionale med α, finder
man de tidligere udledte udtryk for skråt kast uden gnidning (hvilket altid er
betryggende i en teoretisk udledning).
For at finde positionen (x,y), skal vi integrere (4.2) med
hensyn til tiden. Vælger vi (x0, y0) = (0,0), finder man:
(4.3) 
Igen, hvis 
<< 1, altså hvis gnidningsmodstanden er
forsvindende lille, kan man benytte tilnærmelsen + ½·x2 med
x= . Hvis man dropper alle led, der er proportionale med α,
finder man igen de tidligere udledte udtryk for skråt kast uden gnidning
Hverken (4.2) eller (4.3) er særlig gennemskuelige eller
anvendelige til teoretiske beregninger. Det er muligt at finde stighøjden, idet
ligningen vy = 0, godt kan løses, for at bestemme t, som så kan
indsættes i udtrykket for y. Man kan imidlertid ikke finde et analytisk udtryk
for kastevidden, idet ligningen (4.3) y = 0, er en transcendent ligning.
Vi skal senere se på numerisk løsning af differentialligninger.
En harmonisk svingning er en retliniet bevægelse (langs en
x-akse), hvor den resulterende kraft er proportional med afstanden til
ligevægtsstillingen (x=0) og til stadighed rettet mod ligevægtsstillingen. Der
gælder altså ligningen
(5.1) 
Denne differentialligning er behandlet i Elementær Fysik 2,
side 59-60. Sætter man 
, finder man den fuldstændige løsning:
(5.2) 
A er amplituden, ω kaldes den cykliske frekvens, og
φ0 er begyndelsesfasen, Svingningstiden er givet ved udtrykket:
.
I matematik undervisningen skriver man den fuldstændige
løsning til (5.1) på en lidt anden måde:
At dette faktisk er den samme løsningsformel, kan indses,
hvis man anvender en additionsformlen 
på løsningen (5.2)
og sætter 
Hvis der er friktion i bevægelsen, skal der tilføjes endnu
et led til differentialligningen (5.1). Vi vil først gøre den antagelse, at
friktionen er proportional med farten og modsat rettet hastigheden. Proportionalitetskoefficienten
vil afhænge af hvilket legeme, der er tale om, og hvilket medium (væske, luft)
den bevæger sig i. Fgn = -α·v 
.
Differentialligningen for bevægelsen bliver herefter:
(5.3) 
Det viser sig noget mere besværligt, at løse
differentialigningen (5.3) end (5.1). Før vi går i gang, omskriver vi ligningen
for at få et mere generelt udtryk:
(5.4) 
(5.4) er en 2. ordens, lineær, homogen differentialligning
med konstante koefficienter b og c. Lineær, fordi alle led, der indeholder x
optræder i 1. potens. Homogen, fordi der ikke er noget led f(t), som kun afhænger
at t.
Ligningen (5.2) kan altid løses, idet løsningen kan
reduceres til at finde de komplekse løsninger til en 2. grads ligning.
Tilsvarende kan løsning af en n-te ordens lineær, homogen differentialligning
med konstante koefficienter, reduceres til at bestemme de komplekse rødder i et
n'te grads polynomium.
Selv om komplekse tal ikke er en del af gymnasiets pensum i
matematik, vil vi alligevel vise metoden, fordi den er enkel og effektiv. Først
bemærker vi, at i teorien for differentialligninger gælder det, at hvis man til
en differentialigning af typen (5.4), hvor b og c godt kan være funktioner af
t, kan finde to løsninger. 
, hvis Wronski-determinant er forskellig fra 0, så kan den
fuldstændige løsning 
.
For at løse ligningen (5.4) sætter vi 
hvor z er et komplekst tal. Det følger så:
Indsættes dette i (5.4) og bortforkorter man 
får man
2.gradsligningen: 
Diskriminanten er 
. Hvis d > 0 har 2. gradsligningen de to reelle løsninger.
(5.5) 
Vender vi tilbage til den oprindelige differentialigning,
ses det, at c=k/m > 0, så begge løsninger i (5.5) er negative. (Hvis
d = 0) reduceres det til en løsning.
Hvis d < 0 har 2. gradsligningen ingen reelle løsninger,
men til gengæld de to komplekse løsninger:
(5.5) 
Her er i den komplekse enhed. i2=-1.
I teorien for komplekse funktioner er en af de vigtigste
formler (faktisk en af de vigtigste formler i den matematiske analyse
overhovedet). Hvis 
er et kompleks tal, hvor
x og y er reelle, gælder der:
(5.6) 
Vi er (naturligvis) kun interesseret i den reelle del af
løsningen til differentialligningen (5.4).
Vi bemærkere endvidere, at da vi foretog substitutionen , kunne vi lige så godt have skrevet 
. Hermed får vi to integrationskonstanter A og 
. Sætter vi endvidere 
kan vi skrive løsningen til differentialligningen (5.4) på
følgende form
(5.7) 
Man ser, at løsningen er en harmonisk svingning med en
amplitude, der aftager eksponentielt med tiden. Dette kaldes en dæmpet
harmonisk svingning. Indsætte de oprindelige værdier for b og c
, hvor 
er
viscositetskoefficienten i ligningen: Fgn = -α·v og k
er "fjederkonstanten", finder man udtrykket 
, som indsat giver:
(5.8) 
Forudsætningen for denne løsning er at det som står under
kvadratrodstegnet er positivt. I modsat fald, (diskriminanten d ovenfor
er negativ), vil der aldrig komme en svingning i gang, men udsvinget vil nærme
sig eksponentielt til ligevægtsstillingen.
Man bemærker i øvrigt, at når =0, går løsningen over i det tidligere udtryk for en
harmonisk svingning:
Det er denne formel, som er anvendt i øvelsen Matematisk
pendul side 203 i bog 2.
Man kan løse differentialligningen på samme måde, som vi
anvendte, da vi løste 1. ordens differentialligninger, hvis b og c
er konstanter, dvs. at de ikke afhænger af t. Teknikken er næsten den samme,
idet vi multiplicerer ligningen med 
og bestemmer β således, at vi slipper af med 1. ordens
leddet. Vi udregner derfor først:
Formlen er, som omtalt tidligere anvendt i øvelsen om
Matematisk pendul side 203 i Elementær Fysik 2.
Vi betragter en tvungen svingning uden dæmpning, hvor massen
m udover en ”fjederkraft”, som
opfylder Hookes lov, er påvirket af en ydre tidsafhængig kraft.
Resultaterne kan direkte overføres til en elektrisk
svingningskreds, hvor kapacitoren er pålagt en vekselspænding.
(6.1) 
Vi vil antage, at den ydre kraft varierer harmonisk. 
.
Løsningen til differentialligningen ovenfor er (som bekendt)
en partikulær løsning til den inhomogene ligning plus den fuldstændige løsning
til den homogene ligning:
(6.2) 
som har løsningen: 
Da differentialligningen
er af 2. orden med konstante koefficienter, kan vi bestemme
en partikulær løsning som: 
(hvor ω er den påtrykte frekvens), som indsat giver:
,
som løses med hensyn til A
til at give: 
Den fuldstændige løsning til differentialligningen, kan
herefter skrives, som den partikulære løsning plus den fuldstændige løsning til
den homogene ligning
Skriver vi dette som: x = A∙cos(ω0t+φ)+ B∙cos(ωt), kan
vi i tilfældet, hvor A = B anvende
den første af de logaritmiske formler for addition af to cos-funktioner:
og 
(6.3) 
Systemet vil altså udføre svingninger med frekvensen 
og med en ”amplitude” 
, der afhænger af tiden, skiftende mellem værdierne -2A og 2A.
Et fænomen, der velkendt for svævninger i lydbølger.
I almindelighed er de to amplituder A og B, naturligvis ikke
lig med hinanden, men det ændrer kun lidt på resultatet, idet man for to tal A og B
altid kan bestemme tal C og D, således at A = C+D og B=C - D 
.
Vi kan herefter skrive løsningen ovenfor:
A∙cos(ω0t+φ)+ B∙cos(ωt)=(C+D)cos (ω0t+φ)+
(C-D) cos(ωt)=
C∙cos (ω0t+φ)+ C∙cos(ωt)+
D∙cos (ω0t+φ)- D∙cos(ωt)
Således at løsningen kan omskrives til
(6.4) 
Resultatet er således to svævninger, med samme frekvens,
men, hvor ”amplituden” er 
ude af fase. Dette
vanskeliggør en eksperimentel bestemmelse af frekvensen i svævningerne.
En dæmpet harmonisk svingning kan i princippet behandles på
helt samme måde, men det er mindre interessant, da dæmpningsleddet vil
forsvinde efter en vis tid (afhængig af dæmpningen), og man derfor ikke efter
et stykke tid vil observere de svævningsfænomener, der er beskrevet ovenfor.
Det er faktisk de færreste differentialligninger (problemer)
i fysikken, der har en analytisk løsning. Analytisk løsning betyder, at man kan
finde matematiske funktioner, der beskriver systemets position og hastighed til
ethvert tidspunkt.
Den matematiske disciplin, der beskæftiger sig med numeriske
løsninger til problemer, kaldes for numerisk analyse. Det er teoretisk set et
omfattende område, og i modsætning til, hvad man måske umiddelbart skulle tro,
så er teorien udviklet lang tid før fremkomsten af computere.
Man kan ikke overvurdere betydningen af analytiske løsninger
til fysiske problemer. Alternativet er numeriske løsninger, som groft set kan
karakteriseres ved at man regner med små med endelige tilvækster Δx,
Δt i stedet for med infinitesimale størrelser dx, dt, differenskvotienter 
i stedet for differentialkvotienter
og summer 
i stedet for integraler
. Kort sagt, man har ikke længere hele differential- og
integralregningen til rådighed.
For eksempel har beregning af kastevidden ved et skråt kast
overordentlig stor betydning for traditionelt artilleri. Der findes imidlertid
ikke analytiske løsninger, fordi mundingshastigheden er så stor, at
gnidningskraften ikke længere er proportional med farten v, men med vα,
hvor 1 < α < 2. Artillerister er derfor henvist til interpolation i
meget omfattende tabeller, der afhænger af elevationen, kanonens kaliber,
projektilets udformning mv. Disse tabeller er ofte lavet på grundlag af hundredevis
af forsøg. I dette tilfælde er det let at forstå fordelen ved i stedet at have
et analytisk funktionsudtryk.
Vi vil i første omgang kun se på numerisk løsning af 1.
ordens differentialligninger. For at kunne vurdere nøjagtigheden af formlerne
(og det er naturligvis vigtigt) er det nødvendigt at kende Taylors Formel.
Denne formel kan formuleres på flere måder, hvor vi kun giver den version, der
anvendes til approximation af en funktion omkring et punkt x0. Har vi givet en reel funktion y = f(x),
x0 er et fast punkt og
hvis h betegner en lille til vækst til x0, så gælder
der under ret generelle forudsætninger:
(6.1) 
Det sidste led (restleddet) ses, at være proportionalt med hn+1,
vi skriver dette som O(hn)h, hvor symbolet O(hn)
læses som "af orden hn ". Undlader man restleddet
får man en approximation til f(x0+h). Alt efter, hvor mange
led man medtager får man en 0'te, 1., 2., ordens approximation.
(6.1) 
(6.2) 
(6.3) 
Skal vi nu løse en differentialligning af 1. orden 
, hvor vi kender en begyndelsesværdi 
, så kan det gøres ved at anvende (6.1), idet
Så har vi beregnet til orden h2 en ny
værdi (x1, y1) = (x0+h, f(x0+h)),
som derefter kan anvendes til at beregne (x2, y2) = (x1+h,
f(x1+h)) og sådan fremdeles. Metoden kaldes for numerisk
integration.
Når man anvender (6.1) kaldes det ofte for Euler
integration.
Euler integration anvendes stort set aldrig i praksis, fordi
fejlene akkumulerer, hvis fortegnet for f''(x) er konstant.
For at opnå en bedre tilnærmelse til f'(x) end (6.1) kan man
anvende følgende:
(6.5) 
Hvis man rækkeudvikler begge led i 
ved hjælp af Taylors formel finder man:
, og sætter resultatet lig med nul og sammenligner med den
oprindelige differentialigning finder man de tre udtryk.
. Vi kan imidlertid løse (5.9) direkte. Hvis vi nemlig sætter
, så vi finder
, så genfinder man det tidligere udtryk, som blev udledt ved
anvendelse af komplekse tal:
, så er korrektionsleddet (fejlen) af størrelsesorden 
. Det sidste er bestemt ikke uvæsentligt for korrekte
beregninger. Løsningen af 1. ordens differentialligninger foregår næsten på
samme måde, som før. Man regner iterativt (skridtvis) frem i enheder af h,
idet
. Her er mr den (på grund af opdriften) reducerede
masse:
.
, men ligningen er transcendent, og skal løses numerisk.
Forsøg dette og undersøg om det giver markant anderledes resultater for viscositetskoefficienten
η.